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Download PDF by Matthias Moßburger: Analysis in Dimension 1: Eine ausführliche Erklärung

By Matthias Moßburger

ISBN-10: 3834818941

ISBN-13: 9783834818942

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Das heißt an der n-ten Stelle nach dem Komma steht die Ziffer xn , also x = 0,0000010 . . ) Die Zahl x ist eindeutig positiv. Wir definieren eine weitere Folge yn := 1 falls 2n − 1 vollkommen 0 sonst (n ∈ N) und damit die Zahl y := 0,y1 y2 y3 . . Die Zahl y ist genau dann positiv, wenn es eine ungerade vollkommene Zahl gibt (denn 2n − 1 durchl¨ auft alle ungeraden Zahlen). Wenn wir ein Verfahren h¨atten, mit dem wir f¨ ur jede reelle Zahl, also auch f¨ ur unser y , entscheiden k¨onnten, ob sie positiv ist, dann k¨ onnten wir eine ber¨ uhmte Frage beantworten: Gibt es eine ungerade vollkommene Zahl?

Xn )n → ∞ und r ≤ (yn )n f¨ 3. (xn )n → −∞ ⇐⇒ (xn yn )n → ∞ . =⇒ (−xn )n → ∞ . ur alle n ∈ N 4. (xn )n → 0 und xn ∈ R+ f¨ =⇒ x−1 n 5. (xn )n → ∞ und xn = 0 f¨ ur alle n ∈ N =⇒ x−1 n n n → ∞. → 0. sch Beweis. : Es sei s ∈ R. Wir zeigen s < (xn + yn )n : sch sch ur ein r ∈ R , und s − r < (xn )n . Daraus folgt Nach Voraussetzung ist r ≤ (yn )n f¨ sch s < (xn + yn )n (denn sch < “ ist mit +“ vertr¨aglich) . : Es sei s ∈ R . Wir zeigen s < x−1 n n: sch Wegen (xn )n → 0 und s−1 ∈ R+ gilt (xn )n < s−1 .

Dann gilt jedenfalls g(c) < 0 < g(d) . Es sei [ l1 , r1 ] := [ c , d ] und orige Intervallschachtelung f¨ ur g(x) = 0 mit Ergebnis a . 7 auch g . 5 folgt g(a) = 0 , und damit f (a) = z . ✷ 46 Kapitel 1. Grenzwert √ Sind auch Funktionen mit Termen wie x2 + 1 stetig? Eine solche Funktion 2 setzt sich√aus zwei Funktionen f und g wie √ folgt zusammen: Mit f (x) := x + 1 und 2 2 g(x) := x ist g(f (x)) = g(x + 1) = x + 1 . Diese Art der Zusammensetzung von g und f nennt man eine Verkettung von g nach f .

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Analysis in Dimension 1: Eine ausführliche Erklärung grundlegender Zusammenhänge by Matthias Moßburger


by Kevin
4.2

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