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Download e-book for iPad: Beiträge zur Theorie der Differentialinvarianten by S. Lie, E. Study, F. Engel (auth.), G. Czichowski, B.

By S. Lie, E. Study, F. Engel (auth.), G. Czichowski, B. Fritzsche (eds.)

ISBN-10: 3663013901

ISBN-13: 9783663013907

ISBN-10: 3815420350

ISBN-13: 9783815420355

In diesem Monat feiern wir den a hundred and fifty. Geburtstag von SOPHUS LIE, einem der größten Mathematiker des vorigen Jahrhunderts. Es ist daher sehr zu begrüßen, daß der Teubner­ Verlag, einer langen Traditionslinie bei der Veröffentlichung von LIES Werken folgend, in seine Reihe "TEUBNER-ARCHIV zur Mathematik" Arbeiten von SOPHUS LIE und seinen Zeitgenossen EDuARD learn und FRIEDRICH ENGEL aufgenommen hat. Ausgewählt wurden Beiträge zur Theorie der Differentialinvarianten. Zum einen ist dies ein Gebiet, auf dem alle drei tätig gewesen sind und das als Ausgangspunkt großer Liescher Ideen zur Anwendung gruppentheoretischer Methoden in der research betrachtet werden kann, obwohl es nur einen Ausschnitt aus LIES Schaffen darstellt. Zum anderen vermitteln die hier vorgestellten Arbeiten durch ihren kritischen Stil und durch den Streit um unterschied­ liche mathematische Auffassungen interessante Einblicke in das mathematische Geschehen jener Zeit. Neben der Würdigung dieser drei namhaften Mathematiker stellt der vorliegende Band den Ursprung der Lieschen Theorie, ihre weitere Entwicklung und spätere Ausprägung dar. Wir danken dem Teubner-Verlag und insbesondere Herrn J. WEISS für das freundliche Entgegenkommen und die gute Zusammenarbeit. Greifswald und Leipzig, Dezember 1992 GÜNTER CZICHOWSKI BERND FRITZSCHE SOPHUS LIE Ölgemälde von ERIK THEODOR WERENSKIOLD aus dem Jahre 1902; im Besitz der Universität Oslo (Katalognummer 818) Inhalt S. Lie: Über Gruppen von Transformationen, 1874. (Gesammelte Abhandlungen, Bd. five (1924),1-8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eight S. Lie: Über Differentialinvarianten, 1884. (Gesammelte Abhandlungen, Bd. 6 (1927), 95-l38) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sixteen . . . . . . . S. Lie: Über die Gruppe der Bewegungen und ihre Differentialinvarianten, 1893. (Gesammelte Abhandlungen, Bd. 6 (1927), 376-383) . . . . . . . . . . . . . . .

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20. In eine vorgelegte partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung: r = F(x, y, s, p, q, s, t) führe ich neue Variabeln: (15) Xl = X(x, y, s), Y1 = Y(x, y, z), Zl ~ Z(x, y, z) ein und erhalte hierdurch eine neue Gleichung: r1 = F 1(Xli Yll Zl,P1' qll Sl1 t1) Dabei sind P1' qv sll t1 und F 1 gewisse Funktionen: (16) P1 = P, q1 = Q, Sl = S, t1 = T, F 1 = 11> von p, q, s, t, F wie auch von X, Y, Z und ihren Differentialquotienten erster und zweiter Ordnung. Da nun die Gleichungen (15), (16) eine unendliche Gruppe definieren müssen, bestimmt die Gleichung: r - F = 0 unendlich viele Differentialinvarianten von der Form: Q(P, q, s, t, F, F", Fy' ...

Mit Diffinv. 123 auf die neun Gleichungen: of öx = of oy 0, = 0, Ad- A9f=0, Ad - A,f = A 0, 0, Asf= 0, A 1 f=0, Agf= 0, ~f = A6f-~of=0, [664 ,die ein vollständiges System mit drei Lösungen bilden. Unter denselben ist eine von der ersten Ordnung, nämlich J, während die beiden übrigen von der zweiten Ordnung sind. Durch ein analoges Räsonnement könnten wir die Existenz von drei Invarianten dritter Ordnung lUnd so weiter erkennen. Unsere unendliche Gruppe bestimmt indes noch andere Reihen 'Von Invarianten, wie hier kurz angedeutet werden mag.

0 darstellen, wobei y', z', y", s", ... die Ableitungen von y und s nach x bezeichnen. Ist die gegebene Kurve eine Gerade, so hat dieses Gleichungssystem die Form: y" = 0, z" = 0 [373 und ist somit von zweiter Ordnung. Ist die gegebene Kurve ein Kreis, so hat das zugehörige invariante Gleichungssystem die Form: Q=a, -r=0, wobei Q den Krümmuugsradius, 1: -r den Torsionsradius und a eine Konstante bezeichnen. In diesem Falle besteht somit das invariante System aus einer Gleichung von zweiter Ordnung und einer Gleichung von dritter Ordnung.

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Beiträge zur Theorie der Differentialinvarianten by S. Lie, E. Study, F. Engel (auth.), G. Czichowski, B. Fritzsche (eds.)


by Brian
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