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ISBN-10: 9587612396

ISBN-13: 9789587612394

Estas notas sobre cálculo avanzado son el resultado de numerosos cursos que se han dictado durante varios años en el posgrado de matemáticas de los angeles Universidad Nacional de Colombia. Su objetivo es proveer los conocimientos básicos para quienes trabajan en ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones diferenciales parciales, topología diferencial, variedades diferenciales, mecánica y otros cursos universitarios.

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6. 71 Teorema. Sean (E, ) y (F, 1 ) dos espacios vectoriales normados. Si dim(E) = n es finita, entonces toda aplicaci´ on lineal T : E → F es continua. Demostraci´ on. 70 implica la existencia de un homeomorfismo lineal h : (Rn , . 69 implica que T ◦ h : (Rn , x 1 ) → (F| 1 ) es lineal continua; como h es homeomorfismo lineal, h−1 es lineal continua, luego T = (T ◦ h) ◦ h−1 es continua por ser composici´on de continuas. 72 Teorema. Sea E espacio vectorial de dimensi´ on finita n, entonces todas las normas en E son equivalentes y E es completo con respecto a cualesquiera de ellas.

Recordamos que en un espacio m´etrico (M, d) si A ⊂ M , se llama di´ametro de A al real extendido y notado δ(A), definido as´ı δ(A) = sup{d(x, y : d(x, y)x, y ∈ A} si A no vac´ıo y acotado, diam(A) = ∞ si A no es acotado, diam(A) = −∞ si A es vac´ıo. 53 Proposici´ on. Si (M, d) es espacio m´etrico secuencialmente compacto y {Fn } es sucesi´ on decreciente de cerrados de M (es decir, Fm+1 ⊆ Fm ) no vac´ıos, entonces ∞ Fj = ∅. j=0 Demostraci´ on. Sea (Fn ) sucesi´on decreciente de cerrados no vac´ıos de M , es decir que Fn+1 ⊆ Fn , escogemos xn ∈ Fn para n = 1, 2, .

27 Definici´ on. a) Dados (M1 , d1 ), (M2 , d2 ) dos espacios m´etricos a f : S → M2 , S ⊂ M1 , f se dice continua en a si ∈ M1 , a1 ) a ∈ S a2 ) Dado W abierto de M2 , f (a) ∈ W , existe V abierto de M1 , a ∈ V , tal que f (V ∩ S) ⊂ W . En t´erminos de las m´etricas d1 , d2 de M1 , M2 , respectivamente, tenemos que f es continua en a si a1 ) a ∈ S ≡ dominio de f . a2 ) Dado ε > 0, existe δ = δ(a, ε) > 0, tal que si x ∈ B1 (a, δ) ∩ S y x = a, entonces f (x) ∈ B2 (f (a), ε), donde B1 (a, δ) = {x ∈ M1 | d1 (x, a) < δ} B2 (f (a), ε) = {y ∈ M2 | d2 (f (a), y) < δ} .

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Cálculo avanzado. Introducción by José F. CAICEDO C.

by George

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